---

POLINOMLARDA İŞLEMLER

Polinomlarda İşlemler Nasıl Yapılır (Çözümlü)

Polinomlarda Toplama İşlemi

A(x) = a₄x⁴ + a₃x³ + a₂x² + a₁x + a₀

B(x) = b₃x³ + b₂x² + b₁x + b₀

Polinomları verilsin, bu iki polinomu toplarken aynı dereceli terimler kendi arasında toplanarak iki polinomun toplamı elde edilir.

A(x) + B(x) = a₄ x⁴ + ( a₃ + b₃ ) x³ + ( a₂ + b₂ ) x² + ( a₁ + b₁ ) x + a₀ + b₀

Örnek

P(x) = x³ + 2x² – 3x + 1, Q(x) = 3x² + Ö3 x + 4 polinomlarının toplamı olan polinomu bulunuz.

Çözüm

P(x) + Q(x) = x³ + (2+3) x² + (-3) + Ö3) x + 1 + 4

= x³ + 5x² + (Ö3-3) x + 5 dir.

Buna göre iki polinomun toplamı yine bir başka polinom olduğundan polinomlar toplama işlemine göre kapalıdır.

1. Polinomlar kümesi, toplama işlemine göre kapalıdır.

2. Polinomlar kümesinde toplama işleminin değişme özelliği vardır.

3. Polinomlar kümesinde toplama işleminin birleşme özelliği vardır.

4. Sıfır polinomu, polinomlar kümesinde toplama işlemine göre birim elemanıdır.

5. Her polinomun, toplama işlemine göre tersi vardır.

Polinomlarda Çarpma İşlemi

A(x) ve b(x) gibi iki polinomun çarpımı, A(x) ‘in her terimi B(x)’in her terimi ile ayrı ayrı çarpılarak bulunur.

a_nxⁿ ile b_kx^k teriminin çarpımı

a_nxⁿ . b_kx^k = (a_n . b_k) x^n+k dir.

Yani (5x³) . (-2x⁴) = 5 . (-2) x³⁺⁴ = -10x⁷

Bu çarpmaya göre aşağıdaki eşitliği yazabiliriz.

Der [A(x) . B(x) ] = der (A(x)) + der (B(x))

Örnek

A(x) = 3x⁴ + 1, B(x) = x² + x

C(x) = x² – x + 1 polinomları veriliyor.

a) A(x) . B(x)

b) B(x) . C(x) çarpımlarını bulunuz.

Çözüm

a) A(x) . B(x) = (3x⁴ + 1) . (x² + x)

= 3x⁴ . x² + 3x⁴ . x + x² + x

= 3x⁶ + 3x⁵ + x² + x

b) B(x) . C(x) = (x² + x) . (x² – x + 1)

= x² . x² – x² . x + x² . 1 + x . x² – x . x + x . 1

= x⁴ – x³ + x² + x³ – x² + x + 1

= x⁴ + x + 1 bulunur.

Polinomlarda çarpma işleminin aşağıdaki özellikleri vardır.

1. Kapalılık (iki polinomun çarpımı yine bir polinomdur.

2. Değişme özelliği vardır.

3. Birleşme özelliği vardır.

4. Çarpma işleminin birim (etkisiz) elemanı P(x) = 1 sabit polinomudur.

5. Polinomlar kümesinde çarpma işlemine göre bazı polinomların tersi yoktur.

Yani P(x) = x² polinomunun tersi 1/x² ifadesi polinom değildir.

6. Polinomlar kümesinde çarpma işleminin toplama işlemi üzerine dağılma özelliği vardır.

A(x) . (B(x) + C(x)) = A(x) . B(x) + A(x) . C(x)

Polinomlar Halkası

Toplama ve çarpma işleminin özelliklerinden görüldüğü gibi R_[x] polinomlar kümesi;

1. (R_[x],+) sistemi değişmeli gruptur.

2. R_[x] kümesi çarpma işlemine göre kapalı ve çarpma işleminin birleşme özelliği vardır.

3. R_[x] kümesinde çarpma işleminin toplama işlemi üzerinde dağılma özelliği vardır.

O halde (R_[x], + , . ) sistemi bir halkadır. Buna polinomlar halkası denir.

Polinomlarda Bölme İşlemi

A(x) polinomunun B(x) polinomuna bölümü

A(x) B(x)

ê T(x)

ê

.

-___________

R(x)

Burada A(x) = B(x) . T(x) + R(x) şeklinde yazılır.

Bu bölme işlemi yapışırken aşağıdaki hususlara dikkat edilmelidir.

1. Polinomlar azalan kuvvetlerine göre sıralanmalıdır.

2. Bölünen polinomun derecesi bölen polinomun derecesinden büyük olmalıdır.

DerB(x) < derA(x)

3. Kalanın derecesi bölenin derecesinden küçük olmalıdır.

Der R(x) < der B(x)

4. R(x) = 0 ise A(x) polinomu B(x) polinomuna tam bölünüyor denir.

5. der A(x) = der B(x) + der T(x)

der <IMG src=”file:///C:UsersLgAppDataLocalTempmsohtmlclip11clip_image010.gif” width=37 height=44 v:shapes=”_x0000_i1043″> = der A(x) – der B(x) dir.

Horner Metodu

Bölen, birinci dereceden ya da birinci dereceden polinomların çarpımından oluşuyorsa bu metot uygulanabilir.

Örnek

Px³ + qx² + nx + s polinomunu (x – a) ‘ ya bölelim.

Çözüm

1. Bölünen polinomun katsayıları x’in azalan kuvvetlerine göre sıralanır.

2. Bölümün derecesi bölünenin derecesinden küçük olacağı için bölümde x³’ün katsayısı 0 olur.

3. p katsayısı aşağıya aynen yazılır.

4. a, p ile çarpılır, q’nun altına yazılarak toplanır. Ap + q olarak yazılır.

Bu işleme, kalan bulunana kadar devam edilir.

px³ + qx² + rx + s, x – a = 0 ise x = a

Örnek

P(x) = x⁴ – x³ + 3x + 4 polinomunun x – 2’ye bölündüğünde bölüm ve kalanı horner metodu yardımıyla bulunuz.

Çözüm

P(x)’in katsayılarını belirleyip tabloda gösterelim. Ayrıca x –2 = 0 Þ x = 2 ‘yi yerine yazalım.

Bölümün Katsayıları Kalan

-1 0 3 4

2 1 2 2 4 14

1 1 2 7 18

Bölümün Katsayıları Kalan

Bölüm B(x) = x³ + x² + 2x + 7

Kalan R(x) = 18 bulunur.

Bölme İşlemi Yapmadan Kalan Bulma

Bir P(x) Polinomunun x – a ile Bölünmesinde Elde Edilen Kalan

Bir P(x) polinomunun (x – a) ile bölünmesinden elde edilecek bölüm Q(x) ve kalan k olsun. (x – a) birinci dereceden olduğundan, kalan sabit bir sayıdır. P(x) = (x – a) Q (x) + k eşitliği her x için geçerlidir. Burada, x yerine a yazarsak P(a) = 0.Q(a) + k Þ P(a) = k bulunur.

Bir P(x) polinomunun (x – a) ile bölünmesinden elde edilen kalan P(x) ya eşittir. O halde, bir polinomun (x – a) ile bölünmesinden kalanı bulmak için (x – a = 0 Þ x = a olur.) polinomda x yerine a değeri yazılır.

Çözüm

Bir P(x) polinomunun kat sayıları toplamını bulmak için polinomda x yerine 1 yazılır. P(1) verilen polinomun kat sayıları toplamıdır. Burada, P(1) = 7 veriliyor. Diğer taraftan kalan, en fazla 2. dereceden ax² + bx + c biçiminde olur. Bölmenin özdeşliği yazılırsa;

P(x) = (x² + 2) (x – 1) b(x) + ax² + bx + c olur. Polinomda,

x = 1 için P(19 = (1 + 2) . (1 – 1) . B(1) + a + b + c = a + b + c = 7 ve

x² = -2 yazılırsa, -2a + bx + c = – 2x + 6 olur.

bx + c – 2a = -2x + 6 Þ b = -2 ve c-2a = 6 olur. Ayrıca, b = -2 ise a + b + c = 7 den

a – 2 + c = 7 Þ a + c = 9 dur.

c – 2a = 6

a + c = 9

Sistemi çözülürse, a = 1, c = 8 bulunur. Oyleyse, K(x) = x² – 2x + 8 olur.

Tavsiye Edilen Konular:

 polinom bölmesi nasıl yapılır, polinomlarda toplama, polinomlarda işlemler, polinomlarda çarpma işlemi, polinomlarda bölme işlemi nasıl yapılır, POLINOMLARDA Bölme İşlemi Yapmadan Kalan Bulma, polinomda toplama, polinom bölmesi, polinomlarda toplama işlemi nasıl yapılır, polinomlarda çarpma işlemi video Sponsor Bağlantı